જો શ્રેણી frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i

Vedclass · Accepted Answer

$120$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને $a_n$ ને સરળ બનાવતા:$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$હવે,$20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{k}{21}$,સરખામણી કરતા,આપણને $k = 120$ મળે છે.

જો શ્રેણી $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ ના $20$ પદોનો સરવાળો $\frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

નીચેની શ્રેણી $1 + (1 + x) + (1 + x + x^2) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે?

જો $p, q, r$ એ $A.P.$ માં હોય અને ધન હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટેની શરત શું છે?

સમીકરણ $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ નો ઉકેલ શોધો.

જો બે સંખ્યાઓનો $A.M.$ તે સંખ્યાઓના $G.M.$ કરતા $2$ જેટલો વધારે હોય અને સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $4:1$ હોય,તો તે સંખ્યાઓ કઈ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module